第12讲：《导数的基本运算法则与高阶导数》内容小结、课件与典型例题与练习
1、函数运算的求导法则
可导函数的和、差、积、商仍然是可导函数，并且有
其中a,b为常数. 和极限计算的四则运算法则一样，注意可导的前提条件！
2、反函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数的导数的倒数！
【注】注意以上求导公式：反函数不要改变变量符号，直接函数与反函数关于各自的变量求导数. 即函数y=f(x)关于x求导数；其反函数为x=f-1(y)关于y求导数，然后借助于y=f(x)将导数关于y的表达式结果转换为x的函数表达式，得到函数y=f-1(x)的导数表达式.
3、复合函数的求导法则
复合函数求导的链式法则：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量(最终变量)的导数. “自顶而下”或“自左到右”分解复合的过程(绘制变量关系图)：“沿线相乘”写导数表达式：
【注】搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
4、基本初等函数的求导公式及应用
依据以上三个求导的运算法则，基于几个基本初等函数的导数(它们的导函数直接利用导数的定义可以计算得到)
可以求得基本初等函数的求导公式(见教材或课件). 基本初等函数的求导公式是计算导数的基础。一般不需要记忆，可以直接推导得到，或者熟能生巧.
5、对数求导法
对于复杂的连乘、除函数和具有幂指结构的函数(包括具有指数函数，或者幂函数结构的复合函数)的函数的导数计算，一般借助于以自然常数为底的指数函数的复合结构和对数函数的运算法则，基于复合函数求导的链式法则求导. 用到的函数改写公式如
6、抽象函数求导
(1) 求导变量不是函数包含的变量，如果函数变量与求导变量无关则导数为0，否则导数等于函数关于自己变量的导数乘以自己变量的导数关于求导变量的导数. 即
该公式两种情况都适用，因为t与x无关，则导数dt/dx为0.
(2) 注意函数求导符号的区别：仔细体会以下描述，注意公式、结论中出现的表达式的标准结构！
(3) 注意抽象函数的导数的复合结构与原来函数的复合结构一样，如
7、高阶导数
(1) 高阶导数就是对导函数继续求导，因此，求高阶导数必须先要计算出前一阶导函数表达式！对于导函数的可导性的讨论与导数的计算，和函数可导性及导数的计算思路与步骤完全一致！ 【注1】分段函数一点处高阶可导性的讨论参见课件最后一个练习！详细参考解答参见对应的例题与练习详细参考解答推文！ (2) 对于高阶导数的计算一般考虑间接法计算，对于不能通过改写表达式将函数转换为已知了高阶导数求导通项公式函数的和差结构的，采用直接计算法，基于数学归纳法得到通项公式，或者直接计算得到需要的高阶导数. (3) 对于符合特定结构的函数，通过改写函数表达式，可以考虑使用莱布尼兹高阶导数计算公式. 对于具体点的高阶导数的计算也可以采用后一章的泰勒公式法. 莱布尼兹求导公式可以对照二项展开公式对照记忆，只要将二项展开公式中的函数相加改成函数相乘，将次数改成求导阶数即可，其中0阶导数等于函数本身，即二项式展开：
莱布尼兹求导公式：【注2】容易推导得到，最好能够记住的几个常见的高阶导数通项公式！
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